Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Elaboração própria

Calcule a integral.

∫ x 2 cos ⁡ 3 x d x

Passo 1

Fazer por partes é a boa, função polinomial, algébrica ( x 2 ) e uma função trigonométrica ( cos ⁡ 3 x ).Vamos seguir os passos da integração por partes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∫ x 2 cos ⁡ 3 x d x

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v , LIATE!

u = x 2     ( a l g é b r i c a l ,   A ) d v = c o s   3 x   d x     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = 2 x   d x v = 1 3 sen ⁡ 3 x

3. Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 cos ⁡ 3 x d x = 1 3 x 2 ⋅ sen ⁡ 3 x - ∫ 2 3 x ⋅ sen ⁡ 3 x d x =

= 1 3 x 2 ⁡ sen ⁡ 3 x - 2 3 ∫ x sen ⁡ 3 x d x

4. Verificar como calcular a integral ∫ v d u . É para calcular por partes de novo!! Se prepare para, às vezes, ter que usar a integração por partes duas ou mais vezes num mesmo problema.

Passo 3

5. Calcular!

Vamos chamar ∫ x sen ⁡ 3 x d x de I .

Calculando I por partes:

u = x → d u = d x d v = sen ⁡ 3 x → v = - 1 3 cos ⁡ 3 x

Então:

I = - 1 3 x ⋅ cos ⁡ 3 x - ∫ - 1 3 cos ⁡ 3 x d x = - 1 3 x ⋅ cos ⁡ 3 x + 1 3 ∫ cos ⁡ 3 x d x =

= - 1 3 x cos ⁡ 3 x + 1 9 sen ⁡ 3 x

Logo:

∫ x 2 cos ⁡ 3 x d x = 1 3 x 2 sen ⁡ 3 x - 2 3 - 1 3 x cos ⁡ 3 x + 1 9 sen ⁡ 3 x =

= 1 3 x 2 sen ⁡ 3 x + 2 9 x cos ⁡ 3 x - 2 27 sen ⁡ 3 x + C

Resposta

∫ x 2 cos ⁡ 3 x d x = 1 3 x 2 sen ⁡ 3 x + 2 9 x cos ⁡ 3 x - 2 27 sen ⁡ 3 x + C

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