Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração Por Partes

Calcule:

a   ∫ 1 + x ln ⁡ x d x

Passo 1

Olha essa função, não parece que tem nenhuma substituição inteligente para facilitar o cálculo e nem uma conexão entre as duas funções que estão no produto. O melhor jeito para matar esse cara é com a integração por partes. Pelo nosso famoso LIATE temos que o termo que seria nosso u é o ln ⁡ x , sendo o resto o nosso d v :

u = ln ⁡ x → d u = d x x

d v = 1 + x d x → v = x + 2 x 3 2 3

Aplicamos agora a fórmula da integral por partes:

∫ 1 + x ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x + 2 x 3 2 3 - ∫ x + 2 x 3 2 3 d x x

= ln ⁡ x x + 2 x 3 2 3 - ∫ 1 + 2 x 3 d x

= ln ⁡ x x + 2 x 3 2 3 - x + 4 x 3 2 9

= x ln ⁡ x - 1 + x 3 2 2 ln ⁡ x 3 - 4 9 + C

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Resposta

∫ 1 + x ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - 1 + x 3 2 2 ln ⁡ x 3 - 4 9 + C

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