Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Substituição Simples

g   ∫ e x d x

Passo 1

Esse expoente aí complica bastante, certo? Vamos forçar uma substituição dele:

y = x → d y = d x 2 x

Agora, se d y = d x 2 x e y = x , podemos dizer que d x = 2 y   d y . Vai ficar assim:

∫ e x d x = ∫ e y 2 y   d y = 2 ∫ e y y   d y

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Passo 2

Sobrou só essa integral aí, mistura de exponencial e polinômio, que sai tranquilamente por partes. Pelo LIATE o u é a algébrica.

u = y → d u = d y

d v = e y d y → v = e y

∫ e y y   d y = y e y - ∫ e y d y

= y e y - e y

Agora é só voltar para a fórmula do passo 1 :

∫ e x d x = 2 ∫ e y y   d y = 2 e y y - 1

= 2 e x x - 1 + C

Resposta

∫ e x d x = 2 e x x - 1 + C

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