Calcule:

(b) ∫ 1 2 e x + 1 d x

Passo 1

Realizar uma substituição simples e mudar os limites de integração

Raizes em integrais dão um medo eu sei, mas muitas das vezes é tranquilo de sumir com elas através de uma substituição simples! Principalmente quando o x está elevado a 1 . Da uma olhada no macete:

t = x + 1

d t d x = 1 2 x + 1 = 1 2 t

Opa, então posso escrever:

d x = 2 t d t

Trocando os limites de integração, vamos ter:

x = 1 → t = 1 + 1 = 2

x = 2 → t = 2 + 1 = 3

Sendo assim, vamos ter:

∫ 1 2 e x + 1 d x = ∫ 2 3 2 t e t d t

Passo 2

Resolvendo a nova integral por partes

A nova integral ainda não é lá uma integral muito bonita porque temos um t multiplicando ali. Mas veja só! Ele ta elevado a 1 . E como a integral e a derivada de e t é o próprio e t , essa integral tem cheiro de resolvível através de integração por partes. Vamos testar? Se:

∫ u d v = u v -   ∫ v d u

E se fizermos:

e t d t = d v → v = e t

2 t = u → d u = 2 d t

Vamos ter:

∫ 2 3 2 t e t d t = 2 t e t 2 3 - ∫ 2 3 2 e t d t

∫ 2 3 2 t e t d t = 2 t e t 2 3 - 2 e t 2 3

∫ 2 3 2 t e t d t = 2 3 e 3 - 2 2 e 2 - 2 e 3 + 2 e 2

∫ 2 3 2 t e t d t = 2 e 3 3 - 1 - 2 e 2 2 - 1

Resposta

∫ 1 2 e x + 1 d x = 2 e 3 3 - 1 - 2 e 2 2 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para