4. Integração por Partes

f) ∫ t sec ⁡ t tan ⁡ t d t

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ t sec ⁡ t tan ⁡ t d t .

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Lembrando que:

∫ sec ⁡ t tan ⁡ t d t = sec ⁡ t

Usando integração por partes:

u = t → d u = d t

d v = sec ⁡ t tan ⁡ t d t → v = sec ⁡ t

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ t sec ⁡ t tan ⁡ t d t = t sec ⁡ t - ∫ sec ⁡ t d t

= t sec ⁡ t - ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= t sec ⁡ t - ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + C

Resposta

t sec ⁡ t - ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

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