3.6. Calcule as integrais abaixo:

(b) ∫ cos ⁡ x ln ⁡ s e n x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que obter a integral de f x = cos ⁡ x ln ⁡ s e n x

E aí, parece tranquilo, né? 😎

Como nossa função de integração é o produto de duas funções, podemos aplicar o método de integração por partes...

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiramente temos que substituir s e n x = t e consequentemente d t = cos ⁡ x d x ...

∫ cos ⁡ x ln ⁡ s e n x d x → ∫ ln ⁡ t d t

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f t = ln ⁡ t

Ou seja, o termo ln ⁡ t aparece primeiro na palavra L I A T E , então esse termo será u e 1 d t será nosso d v

u = ln ⁡ t d v = d t  

Derivando u e integrando d v , temos

u = ln ⁡ t d v = d t   → d u = 1 t d t v = t

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Montando nossa integral, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ t d t = ln ⁡ t · t - ∫ t 1 t d t

∫ ln ⁡ t d t = ln ⁡ t t - ∫ 1 d t

Integrando 1 pelo método de integração polinomial

∫ 1 d t = t

Substituindo na integral do problema...

∫ ln ⁡ t d t = ln ⁡ t t - t

Agora temos que voltar t para s e n x , ou seja

∫ cos ⁡ x ln ⁡ s e n x d x = ln ⁡ s e n x s e n x - s e n x + C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ cos ⁡ x ln ⁡ s e n x d x = ln ⁡ s e n x s e n x - s e n x + C

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