3.4. Calcule as integrais:

(d) ∫ s e c 3 x d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que obter a integral de f x = s e c 3 x

E aí, parece tranquilo, né? 😎

Como nossa função de integração é o produto de duas funções, podemos aplicar o método de integração por partes...

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Antes, vamos reescrever a função f x como

f x = s e c 3 x = sec ⁡ x · sec 2 ⁡ x

Assim, temos

∫ sec ⁡ x · sec 2 ⁡ x d x

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f x = sec ⁡ x · sec 2 ⁡ x

Ou seja, nesse caso, temos duas funções trigonométricas, mas vamos escolher a de menor ordem como u

u = sec ⁡ x d v = sec 2 ⁡ x d x

Derivando u e integrando d v , temos pelo teorema fundamental do cálculo.

u = sec ⁡ x d v = sec 2 ⁡ x d x → d u = sec ⁡ x t g x d x v = t g x

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Montando nossa integral, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x t g x - ∫ t g x sec ⁡ x t g x d x

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x t g x - ∫ t g 2 x sec ⁡ x d x

Lembrando das relações trigonométricas da t g x , temos que

t g 2 x = s e c 2 x - 1

Ou seja

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x t g x - ∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec ⁡ x d x

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x t g x - ∫ sec 3 ⁡ x - sec ⁡ x d x

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x t g x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

Passando ∫ sec 3 ⁡ x d x para um lado da igualdade, temos

∫ s e c 3 x d x + ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g x + ∫ sec ⁡ x d x

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g x + ∫ sec ⁡ x d x

Novamente pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de sec ⁡ x é dada por

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + t g x

Ou seja

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g x + ln ⁡ sec ⁡ x + t g x

Não esquecendo da constante de integração...

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g x + ln ⁡ sec ⁡ x + t g x 2 + C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g x + ln ⁡ sec ⁡ x + t g x 2 + C

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