Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFF - Cálculo IIA – GMA – 2008.2 – Lista 3 - 12

Calcule a integral indicada, utilizando a técnica de integração por partes.

∫ sen ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

Passo 1

Ele fala para usar integração por parte, então o que vamos fazer? Usar integração por partes rs.

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . LIATE!

Como nos temos uma função muito louca, vamos chamar essa de u e o resto de d v

u = sen ⁡ ln ⁡ x d v = d x    

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = cos ⁡ ln ⁡ x . 1 x d x v = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

3. Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ sen ⁡ ( ln ⁡ x ) d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - ∫ x . cos ⁡ ln ⁡ x . 1 x d x

∫ sen ⁡ ( ln ⁡ x ) d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

4. Verificar como calcular a integral ∫ v d u : não é nada fácil, vamos tentar aplicar integral por partes de novo

Passo 3

5. Calcular!

∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

Como nos temos uma função muito louca, vamos chamar essa de u e o resto de d v

u = cos ⁡ ln ⁡ x d v = d x    

Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = - sen ⁡ ln ⁡ x . 1 x d x v = x

Passo 4

Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x = x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ - x . sen ⁡ ln ⁡ x . 1 x d x

∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x = x cos ⁡ ln ⁡ x + ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 5

Opa caímos na integral que temos, olha como está tu

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x + ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Parece que chegamos em uma encruzilhada! Mas, não! Com um olhar mais atento, podemos perceber que podemos tratar   ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x como uma variável a ser calculada. Assim

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

2 ∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x 2 + C

Não esquece a constante que você precisa somar no final.

Resposta

x sen ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x 2 + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas