Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Partes

Calcule:

c   ∫ 0 1 arctg ⁡ x d x

Passo 1

Nesse cara aí temos uma inversa trigonométrica e um polinômio (considerando que está multiplicado por 1 , um polinômio de grau 0 ). Para não haver confusão vamos primeiro resolver a integral por completo e depois aplicar os limites:

∫ arctg ⁡ x d x

Assim, pelo LIATE escolhemos o nosso u sendo a Inversa trigonométrica e a algébrica, polinomial, será nosso d v :

u = arctg ⁡ x → d u = d x 1 + x 2

d v = d x → v = x

Agora é só usar a fórmula da integral por partes:

∫ arctg ⁡ x d x = x arctg ⁡ x - ∫ x   d x 1 + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral que sobrou pode ser resolvida por substituição:

t = 1 + x 2

d t = 2 x   d x → x   d x = d t 2

Fica assim,

∫ x   d x 1 + x 2 = ∫ d t 2 t = ln ⁡ t 2

= ln ⁡ 1 + x 2 2

Então a integral toda fica assim:

∫ arctg ⁡ x d x = x arctg ⁡ x - ln ⁡ 1 + x 2 2 + C

Passo 3

Vamos aplicar os limites de integração na fórmula que achamos:

∫ 0 1 arctg ⁡ x d x = x arctg ⁡ x - ln ⁡ 1 + x 2 2 [ 1 0

= 1 arctg ⁡ 1 - ln ⁡ 1 + 1 2 2 - 0 arctg ⁡ 0 - ln ⁡ 1 + 0 2

= π 4 - ln ⁡ 2 2 - 0 - ln ⁡ 1 2 = π 4 - ln ⁡ 2 2 - 0 - 0

= π 4 - ln ⁡ 2 2

Resposta

  ∫ 0 1 arctg ⁡ x d x = π 4 - ln ⁡ 2 2

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