Calcule:

  1. ∫ 0 1 4 arcsin ⁡ 2 x d x
  2. ∫ sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Fala, galerOTA! A velha recorrência da secante. Vamos abrir no método da integração por partes:

∫ sec 3 ⁡ x d x

⇒ u = sec ⁡ x d v = sec 2 ⁡ x d x ⇒ d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x v = tan ⁡ x

Logo,

∫ sec 3 ⁡ x d x = ∫ u d v = u v - ∫ v d u

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x tan 2 ⁡ x d x  

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x  

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

Passando a integral repetida ao outro lado e dividindo por 2, temos:

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x d x

= 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ∫ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) ' sec ⁡ x + tan ⁡ x d x

= 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C ,         C ∈ R

Resposta

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C ,         C ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ x e 2 x 1 + 2 x 2d x
Calcule a integral. ∫ z 3 e zd z
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral. ∫ 0 π x 3 cos ⁡ xd x