Calcule:

  ∫ sec 2 ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x d x

Passo 1

Como eu não vejo nenhuma substituição de cara para resolver esse cara, eu vou pensar que esse é um produto entre uma trigonométrica e um logaritmo, funções que não dialogam diretamente. A resolução de integrais que mexe com integrais de funções diferentes misturadas é a resolução por partes. Vamos seguir o LIATE para escolha do u para aplicar nossa fórmula da integral por partes, L de logaritmo vem antes de T de trigonométrica, então o u será o log. O que sobrar será d v :

u = ln ⁡ cos ⁡ x → d u = cos ⁡ x ' cos ⁡ x

= - sen ⁡ x cos ⁡ x = - tg ⁡ x d x

d v = sec 2 ⁡ x d x → v = tg ⁡ x

∫ sec 2 ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x d x = ln ⁡ cos ⁡ x tg ⁡ x - ∫ tg ⁡ x - tg ⁡ x d x

Passo 2

Agora é só resolver a integral que sobrou do lado esquerdo:

ln ⁡ cos ⁡ x tg ⁡ x - ∫ tg ⁡ x - tg ⁡ x d x

= ln ⁡ cos ⁡ x tg ⁡ x + ∫ tg 2 ⁡ x d x

Sabemos que tg 2 ⁡ x não tem uma integral direta, porém sec 2 ⁡ x até tem. Se há uma relação trigonométrica que diz que 1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x , podemos reescrever tudo assim:

= ln ⁡ cos ⁡ x tg ⁡ x + ∫ - 1 + sec 2 ⁡ x d x

= ln ⁡ cos ⁡ x tg ⁡ x - x + tg ⁡ x + C

Resposta

∫ sec 2 ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x d x = ln ⁡ cos ⁡ x tg ⁡ x - x + tg ⁡ x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para