1.9. Calcule as integrais abaixo usando integração por partes:

(b) ∫ e x sin ⁡ x d x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter a integral de f x = e x sin ⁡ x aplicando o método de integração por partes.

Lembra como fazemos isso? 🤔

O método de integração por partes é um método equivalente à regra do produto nas derivadas.

Nesse método seguimos uma formulinha dada por

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Preparado? Bora começar! 😉

Passo 2

No nosso caso, temos

∫ e x sin ⁡ x d x

Fazendo u = e x e d v = sin ⁡ x d x , vamos obter

d u d x = d e x d x → d u = e x d x

d v = sin ⁡ x d x → ∫ d v = ∫ sin ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, vamos obter

v = - cos ⁡ x

Substituindo na formulinha da integração por partes...

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ e x sin ⁡ x d x = e x · - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x e x d x

∫ e x sin ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + ∫ e x cos ⁡ x d x

Novamente aplicando o método de integração por partes em ∫ e x cos ⁡ x d x , temos

∫ e x sin ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x · sin ⁡ x - ∫ e x sin ⁡ x d x

∫ e x sin ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x · sin ⁡ x - ∫ e x sin ⁡ x d x

Passando ∫ e x sin ⁡ x d x para um lado da igualdade, temos

2 ∫ e x sin ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x · sin ⁡ x

∫ e x sin ⁡ x d x = e x sin ⁡ x - e x cos ⁡ x 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ e x sin ⁡ x d x = e x sin ⁡ x - e x cos ⁡ x 2

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