Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a seguinte integral

∫ x e x d x

Passo 1

Precisamos tirar essas raízes pra facilitar nosso trabalho, então vamos fazer a seguinte substituição

w = x

w ² = x

d x = 2 w d w

Então a integral fica assim

∫ x e x d x = ∫ w e w 2 w d w = 2 ∫ w ² e w d w

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que usar integração por partes. Lembra da fórmula? É assim

∫ u   d v =   u v - ∫ v   d u

Olhando pra nossa integral

2 ∫ w ² e w d w

Temos que

u = w 2

d v = e w d w

Logo

d u = 2 w d w

v = e w

Agora já podemos fazer a integração por partes.

2 ∫ w ² e w d w = 2 ∫ u d v = 2 u v - 2 ∫ v d u = 2 w 2 e w - 2 ∫ e w 2 w d w = 2 w 2 e w - 4 ∫ w e w d w

Passo 3

Agora, para resolver a ∫ w e w d w integral vamos usar outra integração por partes

u = w

d u = d w

d v = e w d w

v = e w

Então

∫ w e w d w = w e w - ∫ e w d w = w e w - e w

Passo 4

Agora juntando tudo isso na integral que achamos no passo 2 teremos

2 w 2 e w - 4 ∫ w e w d w =

2 w 2 e w - 4 w e w - e w =

2 w 2 e w - 4 w e w + 4 e w + C

Passo 5

Você deve estar se perguntando, “ainda não acabou?” Calmaaa hahaha Estamos quase lá. Só falta voltar pra variável original. Lembra que fizemos essa substituição aqui de baixo?

w = x

Agora temos que desfazer ela. O resultado final vai ser

2 w 2 e w - 4 w e w + 4 e w + C =

2 x 2 e x - 4 x e x + 4 e x + C =

2 x e x - 4 x e x + 4 e x + C

Resposta

2 x e x - 4 x e x + 4 e x + C

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