Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

22)

∫ x 2 ln ⁡ x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x 2 ln ⁡ x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x 2 ln ⁡ x ≥ 0 ;
  2. x 2 ln ⁡ x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Fazendo com o valor positivo, temos:

∫ x 2 ln ⁡ x   d x

Fazendo a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x d x

d v = x 2 d x ∴ v = x 3 3

Logo, temos:

= u v - ∫ v   d u ∴

= x 3 3 ln ⁡ x - ∫ x 3 3 * 1 x   d x ∴

= x 3 3 ln ⁡ x - ∫ x 2 3   d x ∴

= x 3 3 ln ⁡ x - x 3 9 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x 2 ln ⁡ x   d x ∴

Fazendo a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x d x

d v = x 2 d x ∴ v = x 3 3

Logo, temos:

= - u v - ∫ v   d u ∴

= - x 3 3 ln ⁡ x + ∫ x 3 3 * 1 x   d x ∴

= - x 3 3 ln ⁡ x + ∫ x 2 3   d x ∴

= - x 3 3 ln ⁡ x + x 3 9 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x 2 ln ⁡ x   d x = x 3 3 ln ⁡ x - x 3 9 + C ,   p a r a   x 2 ln ⁡ x ≥ 0 - x 3 3 ln ⁡ x - x 3 9 + C ,   p a r a   x 2 ln ⁡ x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x 2 ln ⁡ x   d x = x 3 3 ln ⁡ x - x 3 9 + C ,   p a r a   x 2 ln ⁡ x ≥ 0 - x 3 3 ln ⁡ x - x 3 9 + C ,   p a r a   x 2 ln ⁡ x < 0

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