1.9. Calcule as integrais abaixo usando integração por partes:

(a) ∫ x cos ⁡ x d x .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a integral de f x = x cos ⁡ x aplicando o método de integração por partes.

Lembra como fazemos isso? 🤔

O método de integração por partes é um método equivalente à regra do produto nas derivadas.

Nesse método seguimos uma formulinha dada por

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Preparado? Bora começar! 😉

Passo 2

No nosso caso, temos

∫ x cos ⁡ x d x

Fazendo u = x e d v = cos ⁡ x d x , vamos obter

d u d x = d x d x → d u = d x

d v = cos ⁡ x d x → ∫ d v = ∫ cos ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, vamos obter

v = s e n x

Substituindo na formulinha da integração por partes...

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ x cos ⁡ x d x = x · s e n x - ∫ s e n x d x

Novamente aplicando o teorema fundamental do cálculo na integral de s e n x , vamos obter

∫ x cos ⁡ x d x = x · s e n x - - cos ⁡ x

∫ x cos ⁡ x d x = x s e n x + cos ⁡ x + C

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ x cos ⁡ x d x = x s e n x + cos ⁡ x + C

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