Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calculeas integrais abaixo

a)

∫ 0 1 e x cos ⁡ x d x

Passo 1

Se você já estiver bem treinado nessa vida de integral, só de olhar aí você conse dizer que vamos resolver por partes, a plaicando duas vezes!!

Acompanha comido devagar. O primeiro indicador de ser uma integração por partes é o fato de existir duas funções bem diferentes dentro da integral (exponencial e cosseno)

Lembra que na integral por partes escolhermos um u e um d v . Para u a ordem é L I A T E   ( L o g ,   i n v e r s a s ,   a l g é b r i c a ,   t r i g o n o m é t r i c a   e   e x p n e n c i a l ) .

Então já sabemos que o u vai ser o c o s ⁡ ( x ) enquanto o d v é tudo o que sobra.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

u = cos ⁡ x → d u = - s e n x d x

d v = e - x d x → v = - e - x

A integral então vai ficar

u v - ∫ v d u

Logo

∫ e - x cos ⁡ x d x =   u v - ∫ v d u = - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x s e n x d x

Agora observa que estamos numa situação similar a anterior, mas agora ao invés de um cosseno e uma exponencial, temos um seno e uma exponencial. Bora aplicar então integração por parte novamente

u = s e n x → d u = cos ⁡ x d x

d v = e - x d x → v = - e - x

Ficamos então que

∫ e - x cos ⁡ x d x = - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x s e n x d x

E

∫ e - x s e n x d x = - e x s e n x - ∫ - e - x cos ⁡ x d x

Passo 3

Observa que encontramos justamente a integral inicial que estávamos procurando o resultado no começo de tudo!! Trazendo então o valor dessa segunda integral pra igualdade anterior

∫ e - x cos ⁡ x d x = - e - x cos ⁡ x + e x s e n x - ∫ - e - x cos ⁡ x d x

2 ∫ e - x cos ⁡ x d x = - e - x cos ⁡ x + e x s e n x

∫ e - x c o s ⁡ ( x ) d x = 1 2 - e - x cos ⁡ x + e x s e n x

Passo 4

Aplicando agora o intervalo de integração

1 2 - e - x cos ⁡ x + e x s e n x | 1 0

1 2 - c o s 1 e + e s e n 1 + 1

Resposta

1 2 - c o s 1 e + e s e n 1 + 1

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