Calcule as integrais:

a) ∫ x sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral:

∫ x sec 2 ⁡ x d x

Vamos pensar em como resolvê-la. Nós temos um produto de funções: x e sec 2 ⁡ x , uma algébrica e uma trigonométrica. Qual a técnica pode usar pra facilitar nossa vida nesse caso?

Bom, nós temos a integração por partes, pra usar nesses casos onde nós temos o produto de duas funções de tipos diferentes. Lembra dela? A fórmula é a seguinte:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

E aí o que nós vamos fazer é escolher uma função que seja fácil de derivar, pra ser nosso u , e uma função que seja fácil de integrar, pra ser nosso v .

Vamos lá!

Passo 2

Derivar x é mais fácil do que derivar sec 2 ⁡ x , então vamos chamar ela de u :

u = x

Dessa forma,

d u = 1 d x

d u = d x

Beleza, agora eu preciso de uma pra integrar e só sobrou a sec 2 ⁡ x , então ela vai ser nosso d v :

d v = sec 2 ⁡ x

Então, v vai ser a integral de d v , ou seja:

v = ∫ d v = ∫ sec 2 ⁡ x d x

E a integral da sec 2 ⁡ x é tan ⁡ x , então temos:

v = tan ⁡ x

Juntando tudo na integral, fica assim:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x sec 2 ⁡ x = x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x

Agora basta a gente resolver essa integral do lado direito, que é:

∫ tan ⁡ x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Então, a nossa integral original fica:

∫ x sec 2 ⁡ x = x tan ⁡ x - ( - ln ⁡ cos ⁡ x )

∫ x sec 2 ⁡ x = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

C é uma constante de integração, que a gente sempre tem que adicionar quando a integral é indefinida.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

∫ x sec 2 ⁡ x = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

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