Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais:

b   ∫ x arctg ⁡ x 2 - 1 d x

Passo 1

Cara, estamos trabalhando com dois termos que nada tem em comum um com o outro, um arco tangente e um polinômio. O melhor jeito de resolver integrais com esse cara é com a integração por partes. Seguimos a regra do LIATE, como tem lá na teoria. O I de inversa trigonométrica vem antes do A de algébrica (polinômios), então nosso u será:

u = arctg ⁡ x 2 - 1 → d u = x 2 - 1 ' 1 + x 2 - 1 2

d u = x 2 - 1 ' 2 x 2 - 1 1 + x 2 - 1 =   2 x d x 2 x 2 - 1 x 2 = d x x x 2 - 1

O resto será d v :

d v = x d x → v = x 2 2

Assim, pela fórmula da Integral por Partes, nós teríamos:

∫ u . d v = u . v - ∫ v . d u

∫ x arctg ⁡ x 2 - 1 d x = arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - ∫ x 2 2 d x x x 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos desenvolvendo o termo:

∫ x arctg ⁡ x 2 - 1 d x = arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - ∫ x d x 2 x 2 - 1

Na integral que sobrou ali eu posso chamar t = x 2 - 1 com d t = 2 x d x :

arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - ∫ d t 2 2 t

= arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - ∫ t - 1 2 d t 4

= arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - 1 4 t 1 2 1 2

= arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - x 2 - 1 2 + C

Resposta

∫ x arctg ⁡ x 2 - 1 d x = arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - x 2 - 1 2 + C

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