3.6. Calcule as integrais abaixo:

(a) ∫ t e - t d t

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que obter a integral de f t = t e - t

E aí, parece tranquilo, né? 😎

Como nossa função de integração é o produto de duas funções, podemos aplicar o método de integração por partes...

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f t = t e - t

Ou seja, o termo t aparece primeiro na palavra L I A T E , então esse termo será u e e - t d t será nosso d v

u = t d v = e - t d t  

Derivando u e integrando d v , temos

u = t d v = e - t d t   → d u = d t v = - e - t

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Montando nossa integral, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ t e - t d t = t · - e - t - ∫ - e - t d t

∫ t e - t d t = - t e - t + ∫ e - t d t

Integrando e - t ...

∫ e - t d t = - e - t

Substituindo na integral do problema...

∫ t e - t d t = - t e - t + - e - t

∫ t e - t d t = - t e - t - e - t + C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ t e - t d t = - t e - t - e - t + C

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