Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais.

b   ∫ e 3 x sen ⁡ x d x

Passo 1

A tentativa do método da integração por partes é super recomendada aqui, pois trata-se de um produto de funções bem distintas. Vamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v pelo LIATE!

u = sen ⁡ x     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T ) d v = e 3 x d x         ( e x p o n e n c i a l ,   E )

Agora vamos achar d u derivando u e o v integrando d v .

d u = cos ⁡ x d x v = 1 3 e 3 x

Fazer a fórmula ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ e 3 x sen ⁡ x d x = 1 3 e 3 x sen ⁡ x - ∫ 1 3 e 3 x cos ⁡ x d x

Vamos ter que usar o método da integração por partes de novo. Repare que temos um produto, de novo, de uma função exponencial por uma função trigonométrica

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando, novamente, pelo método da integração por partes:

u = cos ⁡ x → d u = - sen ⁡ x   d x d v = 1 3 e 3 x d x → v = 1 9 e 3 x

Então:

∫ 1 3 e 3 x cos ⁡ x d x = 1 9 e 3 x cos ⁡ x - ∫ - 1 9 e 3 x sen ⁡ x   d x =

= 1 9 e 3 x cos ⁡ x + 1 9 ∫ e 3 x sen ⁡ x   d x

Passo 3

Repara:

∫ e 3 x sen ⁡ x d x = 1 3 e 3 x sen ⁡ x - 1 9 e 3 x cos ⁡ x - 1 9 ∫ e 3 x sen ⁡ x   d x

Parece que chegamos em uma encruzilhada, mas não! Se olhar com atenção você vai ver que temos a mesma integral dos dois lados. Chamando ela de I sai mole:

I = 1 3 e 3 x sen ⁡ x - 1 9 e 3 x cos ⁡ x - 1 9 I

10 I 9 = 1 3 e 3 x sen ⁡ x - 1 9 e 3 x cos ⁡ x

I = 1 10 3 e 3 x sen ⁡ x - e 3 x cos ⁡ x

Resposta

∫ e 3 x sen ⁡ x d x = 1 10 3 e 3 x sen ⁡ x - e 3 x cos ⁡ x + C

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