Calcule:

∫ x + 1 sec 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Podemos fazer por partes, pois conseguimos assim descer o grau do polinômio x + 1 , além do fato de que sabemos que a integral de sec 2 ⁡ ( x ) é a tangente:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = x + 1 → d u = d x

d v = sec 2 ⁡ ( x ) d x → v = t g ( x )

Substituindo:

∫ x + 1 sec 2 ⁡ ( x ) d x = x + 1 t g x - ∫ t g x d x

Passo 2

Agora o desafio é integrar a tangente:

I 2 = ∫ t g x d x

Substituindo pela expressão em termos de seno e cosseno:

I 2 = ∫ s e n x cos ⁡ x d x

Como sabemos que a derivada do cosseno é o menos seno, podemos fazer a substituição simples:

v = cos ⁡ x → d v = - s e n x d x

d x = d v - s e n x

I 2 = ∫ s e n x v d v - s e n x

I 2 = - ∫ d v v

Passo 3

Portanto sabemos que:

I 2 = - ln ⁡ v + C

Substituindo de volta para x temos:

I 2 = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Substituindo tudo de volta, obtemos:

I = x + 1 t g x - ∫ t g x d x

I = x + 1 t g x - - ln ⁡ cos ⁡ x + C

I = x + 1 t g x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

Resposta

I = x + 1 t g x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

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