Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2018.1, Questão Q01a

1a) Calcule as integrais abaixo:

x 2 e 2 x   d x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é olhar com bastante cuidado pra função no interior da integral:

f x = x 2 e 2 x

E veja só! Não é que essa função é um produto de duas funções diferentes? Um polinômio e uma exponencial? Quando temos algo assim dá pra gente tentar uma integração por partes. Veja bem, se:

f   d g = f g -   g   d f

E escolhermos:

f = x 2

d g = e 2 x d x

Temos:

d f d x = 2 x d f = 2 x   d x

g = e 2 x 2

E logo:

x 2 e 2 x   d x = x 2 e 2 x 2 -   e 2 x 2   2 x   d x

x 2 e 2 x   d x = x 2 e 2 x 2 -   x e 2 x   d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, não resolvemos ainda a questão. Na verdade, acabamos parando com outra integral:

x e 2 x   d x

Mas dá uma boa comparada com a original:

x 2 e 2 x   d x

Opa, o grau do polinômio diminuiu? Isso aí! Se fizermos mais uma vez integração por partes, então vai sumir de vez o polinômio e sobrar só integra lde exponencial. Quer ver? Escolhendo:

f = x

d g = e 2 x d x

Temos:

d f d x = 1 d f =   d x

g = e 2 x 2

Pra nova integral que geramos vamos ter:

f   d g = f g -   g   d f

x e 2 x   d x = x e 2 x 2 -   e 2 x 2   d x

x e 2 x   d x = x e 2 x 2 - e 2 x 4

Passo 3

Agora é só a gente juntar os resultados dos passos anteriores e partir pro abraço. Saca só:

x 2 e 2 x   d x = x 2 e 2 x 2 -   x e 2 x   d x

x e 2 x   d x = x e 2 x 2 - e 2 x 4

Vamos ter então:

x 2 e 2 x   d x = x 2 e 2 x 2 - x e 2 x 2 - e 2 x 4

x 2 e 2 x   d x = x 2 e 2 x 2 - x e 2 x 2 + e 2 x 4

Pondo o que dá em evidência e adicionando a constante de integração, fechamos!

x 2 e 2 x   d x = e 2 x 2 x 2 - x + 1 2 + C

Resposta

x 2 e 2 x   d x = e 2 x 2 x 2 - x + 1 2 + C

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