Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2019.1, Questão Q02b

2b) Calcule as seguintes integrais

x 3 sin x 2 d x

Passo 1

Show, vamos começar! Nem precisa se assustar gafanhoto, porque a gente vai resolver tranquilin essa integral se lembrarmos da seguinte regra: a derivada de um polinômio de grau n é um polinômio de grau n - 1 . Como isso ajuda? Bem, saca só essa substituição simples bacanuda:

u = x 2

d u d x = 2 x

d u = 2 x d x

Agora, vamos mexer um pouco na integral, de forma que a expressão de d u e de u apareçam escritas em termos de x ! Será que rola? Vamos começar multiplicando por 2 2 :

x 3 sin x 2 d x = 2 2 x 3 sin x 2 d x

x 3 sin x 2 d x = 1 2 2 x 3 sin x 2 d x

Agora vamos separar x 3 em dois termos: x e x 2 :

x 3 sin x 2 d x = 1 2 2 x   x 2 sin x 2 d x

E jogando o 2 x que apareceu ali do lado mais pertinho do d x :

x 3 sin x 2 d x = 1 2 x 2 sin x 2 2 x   d x

Opa, então fizemos o d u aparecer! E todos os termos de x que sobraram são exatamente u ! Nossa integral se transforma em:

x 3 sin x 2 d x = 1 2 u sin u d u = u 2 sin u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora nesse passo a gente vai resolver a nova integral que apareceu. Nota o seguinte:

u 2 sin u d u

É um produto de funções de tipos diferentes! Um polinômio vezes uma trigonométrica! Isso tem cheio de integração por partes em! Seguindo a regrinha do LIATE, seja:

f   d g = f g -   g   d f

Temos como esoclha pra f o polinômio, dessa forma:

f = u 2 d f = 1 2 d u

d g = sin u d u g = - cos u

E logo a integral fica:

u 2 sin u d u = - u cos u 2 - - cos u 2   d u

u 2 sin u d u = - u cos u 2 + cos u 2   d u

u 2 sin u d u = - u cos u 2 + sin u 2

u 2 sin u d u = 1 2 sin u - u cos u + C

E voltando pra variável original...

x 3 sin x 2 d x = 1 2 sin x 2 - x 2 cos x 2 + C

Resposta

x 3 sin x 2 d x = 1 2 sin x 2 - x 2 cos x 2 + C

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