Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2013.2, Questão 3d

Calcule:

sen ln x d x

Passo 1

Temos exatamente essa integral nos exercícios de fixação!

Mas naquela o enunciado pedia pra resolver diretamente por integração por partes. Aqui podemos ver outra forma de resolver a mesma integral, usando a seguinte substituição simples:

u = ln x d u = 1 x d x

d x = x   d u

Temos que eliminar totalmente os “ x ”, e

u = ln x x = e u

Ou seja:

d x = e u d u

Daí a integral fica:

sen u e u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto, agora caímos num caso de integração por partes! Usando o LIATE, fazemos o seguinte (como já estamos integrando em u , vou trocar o u da integração por partes por um w , beleza?):

w = sen u d w = cos u d u d v = e u d u v = e u

Aplicando a fórmula:

w d v = w v - v d w

sen u e u d u = e u sen u - e u cos u   d u

Passo 3

Integramos por partes de novo essa nova integral que apareceu:

w = cos u d w = - sen u d u d v = e u d u v = e u

Assim:

w d v = w v - v d w

e u cos u   d u = e u cos u - e u - sen u d u

e u cos u   d u = e u cos u + e u sen u d u

Passo 4

No passo 2 e 3 achamos:

sen u e u d u = e u sen u - e u cos u   d u

e u cos u   d u = e u cos u + e u sen u d u

Juntando tudo isso:

sen u e u d u = e u sen u - e u cos u + e u sen u d u

sen u e u d u = e u sen u - e u cos u - e u sen u d u

Agora é só isolar a integral que queremos:

2 e u sen u d u = e u sen u - e u cos u

e u sen u d u = e u 2 sen u - cos u

Passo 5

Voltando pra variável x , e acrescentando a constante de integração:

e u 2 sen u - cos u = x 2 sen ln x - cos ln x + C

Pronto, aí está!

Resposta

sen ln x d x = x 2 sen ln x - cos ln x + C

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