Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

USP, Cálculo 1, P3 - 2017, Questão 1b

Calcule

cos 2 x ln ( tan ³ x ) d x

Passo 1

Para começar vamos simplificar o termo ln ( tan ³ x ) usando a propriedade

ln a n = n ln a

Então

ln ( tan ³ x ) = 3 ln ( tan x )

cos 2 x 3 ln ( tan x ) d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a integral possui um produto de funções de tipos diferentes vamos usar a integração por partes.

f x = 3 ln ( tan x ) f ' x = 3 tan x sec ² x = 3 sen x cos x

g ' x = cos 2 x g x = sen 2 x 2

Então a integral será

sen 2 x 2 3 ln ( tan x ) - sen 2 x 2 3 sen x cos x d x =

3 2 sen 2 x ln ( tan x ) - sen 2 x 2 3 sen x cos x d x =

Sabemos que

sen 2 x = 2 sen x cos x

Portanto

3 2 sen 2 x ln ( tan x ) - sen 2 x 2 3 sen x cos x d x = 3 2 sen 2 x ln ( tan x ) - 3 d x

3 2 sen 2 x ln ( tan x ) - 3 d x = 3 2 sen 2 x ln tan x - 3 x + C

Resposta

3 2 sen 2 x ln tan x - 3 x + C

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