USP, Cálculo 1, P3 - 2017, Questão 1b Calcule ∫ cos 2 x ln ( tan ³ x ) d x Passo 1 Para começar vamos simplificar o termo ln ( tan ³ x ) usando a propriedade ln a n = n ln a Então ln ( tan ³ x ) = 3 ln ( tan x ) ∫ cos 2 x 3 ln ( tan x ) d x MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA Passo 2 Como a integral possui um produto de funções de tipos diferentes vamos usar a integração por partes. f x = 3 ln ( tan x ) → f ' x = 3 tan x sec ² x = 3 sen x cos x g ' x = cos 2 x → g x = sen 2 x 2 Então a integral será sen 2 x 2 3 ln ( tan x ) - ∫ sen 2 x 2 3 sen x cos x d x = 3 2 sen 2 x ln ( tan x ) - ∫ sen 2 x 2 3 sen x cos x d x = Sabemos que sen 2 x = 2 sen x cos x Portanto 3 2 sen 2 x ln ( tan x ) - ∫ sen 2 x 2 3 sen x cos x d x = 3 2 sen 2 x ln ( tan x ) - ∫ 3 d x 3 2 sen 2 x ln ( tan x ) - ∫ 3 d x = 3 2 sen 2 x ln tan x - 3 x + C Resposta 3 2 sen 2 x ln tan x - 3 x + C