Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

USP, Cálculo 1, P3 - 2012, Questão 1 b

Calcule:

b   sec 2 x ln cos x d x

Passo 1

Como eu não veio nenhuma substituição de cara para resolver esse cara, eu vou pensar que esse é um produto entre uma trigonométrica e um logaritmo, funções que não dialogam diretamente. A resolução de integrais que mexe com integrais de funções diferentes misturadas é a resolução por partes. Vamos seguir o LIATE para escolha do u para aplicar nossa fórmula da integral por partes, L de logaritmo vem antes de T de trigonométrica, então o u será o log. O que sobrar será d v :

u = ln cos x d u = cos x ' cos x

= - sen x cos x = - tg x d x

d v = sec 2 x d x v = tg x

sec 2 x ln cos x d x = ln cos x tg x - tg x - tg x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só resolver a integral que sobrou do lado esquerdo:

ln cos x tg x - tg x - tg x d x

= ln cos x tg x + tg 2 x d x

Sabemos que tg 2 x não tem uma integral direta, porém sec 2 x até tem. Se há uma relação trigonométrica que diz que 1 + tg 2 x = sec 2 x , podemos reescrever tudo assim:

= ln cos x tg x - 1 - sec 2 x d x

= ln cos x tg x - x + tg x + C

Resposta

sec 2 x ln cos x d x = ln cos x tg x - x + tg x + C

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