Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G3 - 2009.1, Questão 1c

Calcule:

sec 2 ( x ) ln s e n x d x

Passo 1

Uma questão muito estranha à princípio, mas sabemos que podemos aplicar a fórmula de integração por partes pois conhecemos a integral de sec 2 ( x ) cos .

u d v = u v - v d u

d v = sec 2 ( x ) d x v = t g ( x )

u = ln s e n x d u = c o s ( x ) s e n x d x

Plugando de volta:

sec 2 ( x ) ln s e n x d x = t g x ln s e n ( x ) - t g x c o s ( x ) s e n x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como sabemos que:

t g x = s e n ( x ) cos x

t g x c o s ( x ) s e n x d x = s e n ( x ) cos x c o s ( x ) s e n x d x

t g x c o s ( x ) s e n x d x = d x = x + C

Voltando, temos:

sec 2 ( x ) ln s e n x d x = t g x ln s e n ( x ) - x + C

Resposta

t g x ln s e n ( x ) - x + C

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