Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G3 - 2010.1, Questão 1b

Calcule:

0 1 2 x ln x 2 + 1 d x

Passo 1

Como podemos perceber, o 2 x multiplicando o logaritmo é a derivada do que está dentro do log. Este tipo de percepção vem com a prática de se fazer muitas questões. Fazendo uma substituição simples:

v = x 2 + 1 d v = 2 x d x

Portanto:

d x = d v 2 x

Vamos então fazer a indefinida. Segue que:

I * = 2 x ln x 2 + 1 d x

I * = 2 x ln v d v 2 x

I * = ln v d v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora surge um outro problema. Como fazer a integral do logaritmo? Bom, esta é mais ou menos maceteada mesmo. Você deve lembrar que na do logaritmo fazemos uma integração por partes malandra. Temos a fórmula:

f d g = f g - g d f

Fazendo:

f = ln v d f = d v v

d g = d v g = v

Substituímos então:

I * = ln v d v = v ln v - v d v v

I * = v ln v - d v

I * = v ln v - v

Passo 3

Voltando para a questão original, substituímos tudo de volta para x e colocamos os limites de integração:

I = x 2 + 1 ln x 2 + 1 - x 2 + 1 0 1

I = 2 ln 2 - 2 - ln 1 - 1

I = ( 2 ln 2 - 1 )

Resposta

2 ln 2 - 1

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