Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G3 - 2010.1, Questão 1c

Calcule:

x + 1 sec 2 ( x ) d x

Passo 1

Podemos fazer por partes, pois conseguimos assim descer o grau do polinômio x + 1 , além do fato de que sabemos que a integral de sec 2 ( x ) é a tangente:

u d v = u v - v d u

u = x + 1 d u = d x

d v = sec 2 ( x ) d x v = t g ( x )

Substituindo:

x + 1 sec 2 ( x ) d x = x + 1 t g x - t g x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora o desafio é integrar a tangente:

I 2 = t g x d x

Substituindo pela expressão em termos de seno e cosseno:

I 2 = s e n x cos x d x

Como sabemos que a derivada do cosseno é o menos seno, podemos fazer a substituição simples:

v = cos x d v = - s e n x d x

d x = d v - s e n x

I 2 = s e n x v d v - s e n x

I 2 = - d v v

Passo 3

Portanto sabemos que:

I 2 = - ln v + C

Substituindo de volta para x temos:

I 2 = - ln cos x + C

Substituindo tudo de volta, obtemos:

I = x + 1 t g x - t g x d x

I = x + 1 t g x - - ln cos x + C

I = x + 1 t g x + ln cos x + C

Resposta

I = x + 1 t g x + ln cos x + C

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