Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G4 - 2010.2, Questão 3 c

Calcule:

c   0 1 arctg x d x

Passo 1

Nesse cara aí temos uma inversa trigonométrica e um polinômio (considerando que está multiplicado por 1 , um polinômio de grau 0 ). Para não haver confusão vamos primeiro resolver a integral por completo e depois aplicar os limites:

arctg x d x

Assim, pelo LIATE escolhemos o nosso u sendo a Inversa trigonométrica e a algébrica, polinomial, será nosso d v :

u = arctg x d u = d x 1 + x 2

d v = d x v = x

Agora é só usar a fórmula da integral por partes:

arctg x d x = x arctg x - x   d x 1 + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral que sobrou pode ser resolvida por substituição:

t = 1 + x 2

d t = 2 x   d x x   d x = d t 2

Fica assim,

x   d x 1 + x 2 = d t 2 t = ln t 2

= ln 1 + x 2 2

Então a integral toda fica assim:

arctg x d x = x arctg x - ln 1 + x 2 2 + C

Passo 3

Vamos aplicar os limites de integração na fórmula que achamos:

0 1 arctg x d x = x arctg x - ln 1 + x 2 2 [ 1 0

= 1 arctg 1 - ln 1 + 1 2 2 - 0 arctg 0 - ln 1 + 0 2

= π 4 - ln 2 2 - 0 - ln 1 2 = π 4 - ln 2 2 - 0 - 0

= π 4 - ln 2 2

Resposta

  0 1 arctg x d x = π 4 - ln 2 2

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