Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G1 - 2019.1, Questão Q02a

Calcule as integrais

x cos 2 3 x   d x

Passo 1

Essa integral tem uma pegadinha que a gente tem que ficar bem atento. Veja só, o termo “ x ” é um polinômio e o termo “ cos 2 3 x ” uma trigonométrica. Isso tem cheirinho de integração por partes né? Já que temos produto de funções de tipo diferente. Até vamos usar essa técnica, mas antes, temos que fazer uma substituição importante:

cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

Dessa forma, nos livramos do quadrado, que ia acabar enrolando nossa vida na integração por partes. Vamos ter nesse caso:

cos 2 3 x = 1 + cos 6 x 2

E logo:

x 1 + cos 6 x 2   d x = x + x cos 6 x 2   d x = x 2   d x + x cos 6 x 2   d x

E a primeira integral é bem tranquila, direto ao ponto! Afinal, é só a integral de um polinômio, de resolução direta. O resultado vai ser:

x 2   d x = 1 2 x   d x = 1 2 x 2 2 = x 2 4

Vamos partir então pra outra integral no próximo passo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, sem o quadrado pra nos atrapalhar, conseguimos resolver essa integral por integração por partes. Pela regra do LIATE, quem manda é o x , então seja:

x cos 6 x 2   d x = u   d v

Tal que:

u = x 2 cos 6 x   d x = d v

Teremos, derivando e integrando:

d u = 1 2   d x v = 1 6 sin 6 x

Pela regra da Integração por partes vamos ter:

u   d v = u v -   v   d u

x cos 6 x 2   d x = x 2 1 6 sin 6 x - 1 2 1 6 sin 6 x   d x

x cos 6 x 2   d x = x sin 6 x 12 - 1 12 sin 6 x   d x

E a integral ali no final é mais tranquila! Como o interior dela é só uma constante vezes o x de propriedades das integrais:

f x d x = F x

f c x d x = 1 c F c x

Teremos:

x cos 6 x 2   d x = x sin 6 x 12 - 1 12 - cos 6 x 6

x cos 6 x 2   d x = x sin 6 x 12 + cos 6 x 72

Passo 3

Agora juntamos tudo! Se:

x cos 2 3 x   d x = x 2   d x + x cos 6 x 2   d x

E achamos:

x 2   d x = x 2 4

x cos 6 x 2   d x = x sin 6 x 12 + cos 6 x 72

Então a resposta final ta na mão! Feshow:

x cos 2 3 x   d x = x 2 4 + x sin 6 x 12 + cos 6 x 72 + C

Resposta

x cos 2 3 x   d x = x 2 4 + x sin 6 x 12 + cos 6 x 72 + C

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