Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a integral

x 2 senh x d x

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que notar nessa integral doida é o seguinte: ela é um produto de funções. Seja f x = g x . h x , podemos dizer que g x = x 2 e h x = sinh x .

Tá, mas e daí? Bem, agora que enxergamos isso, pensa comigo: qual método de integração tem tudo a ver com integral de produto de funções?

Pausa dramática

Integral por partes! Isso mesmo! Então vamos usar a propriedade:

u   d v = u v -   v   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, sabemos qual método de integração usar. Mas quem vai ser u , d u , v e d v ? Temos que escolher eles de forma que a segunda integral seja mais fácil de calcular que a primeira, beleza? Então se fizermos:

u = x 2   d u d x = 2 x   ; d u = 2 x d x

sinh x   d x = d v v = cosh x

A integral fica:

x 2 senh x d x = x 2 cosh x -   2 x cosh x d x

Passo 3

Ok, a segunda integral ainda não sabemos resolver de cara. Mas por que não fazer uma outra integração por partes? Dessa vez vamos escolher:

u = 2 x d u d x = 2   ; d u = 2 d x

cosh x   d x = d v v = sinh x  

A integral fica:

2 x cosh x d x = 2 x sinh x - 2 sinh x d x

E agora sim a gente consegue resolver a última integral:

2 sinh x d x = 2 cosh x

Passo 4

Os resultados dos passos anteriores foram:

x 2 senh x d x = x 2 cosh x -   2 x cosh x d x

2 x cosh x d x = 2 x sinh x - 2 sinh x d x

2 sinh x d x = 2 cosh x

Se juntarmos tudo chegamos na nossa resposta, que vai ser:

x 2 senh x d x =   x 2 cosh x -   2 x sinh x + 2 cosh x + C

x 2 senh x d x =   x 2 + 2 cosh x -   2 x sinh x + C

Resposta

x 2 senh x d x =   x 2 cosh x -   2 x sinh x + 2 cosh x + C

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