Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFPE, Cálculo 1, PF - 2017.2, Questão Q05b

Calcule a integral abaixo:

b) x 2 sin x d x

Passo 1

Realizar uma integração por partes

Puts, uma função trigonométrica com outra não trigonométrica? Complicou. Mas cara, te contar que isso ai cheira a resolução por partes viu? Até porque a função não trigonométrica é um polinômio pequeno. Vamos então fazer:

u = x 2 d u = 2 x d x

d v = sin x d x v = - cos x

x 2 sin x d x = u d v = u v - v   d u

x 2 sin x d x = - x 2 cos x + 2 x cos x   d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Realizar ooooutra integração por partes

Caraca, de novo? Pois é, no passo anterior acabamos gerando uma outra integral no mesmo estilo da original:

x cos x   d x

Mas dá uma olhada: a ordem do polinômio diminuiu! Então se fizermos mais uma vez ele some e vamos poder integrar uma função trigonométrica sozinha! Vamos lá então:

u = x d u = d x

d v = cos x d x v = sin x

x cos x   d x = u d v = u v - v   d u

x cos x   d x = x sin x - sin x   d x

E a integral que restou é mole:

sin x   d x = - cos x

Logo:

x cos x   d x = x sin x + cos x + C ,

agora incluindo a constante.

Passo 3

Reunir os resultados

A gente achou que:

x 2 sin x d x = - x 2 cos x + 2 x cos x   d x

x cos x   d x = x sin x + cos x + C

Beleza, agora só juntar:

x 2 sin x d x = 2 x sin x + 2 cos x - x 2 cos x + C

x 2 sin x d x = 2 x sin x + 2 - x 2 cos x + C

Resposta

x 2 sin x d x = 2 x sin x + 2 - x 2 cos x + C

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