Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2013.2, Questão 1a

Calcule a integral abaixo:

x 2 sin x d x

Passo 1

Esse é um exemplo clássico de integração por partes. A fórmula é dada por:

u d v = u v - v d u

Onde v e u são duas funções integráveis quaisquer.

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Passo 2

Para determinar quem é u e quem é v precisamos observar que:

  1. u vai ser substituído por sua derivada
  2. v vai ser substituído por sua antiderivada

Ou seja, vamos pensar: para a função x 2 vale mais à pena ser u ou ser v ? Se ela for v , vai entrar na fórmula a sua antiderivada:

x 2 d x = x 3 3

Obs.: Não se preocupe com a constante agora

Isto viria a facilitar nossa vida? Parece que não, pois o grau do polinômio subiu. Agora vamos ter um problema mais complicado.

Passo 3

Em contrapartida poderíamos ter x 2 como u . Neste caso entraria na fórmula a sua derivada:

x 2 ' = 2 x

Mais fácil? Sim, temos um problema mais simples em mãos! Ou seja, neste caso temos:

u = x 2 d u = 2 x   d x

d v = sin x d x v = - cos x

Obs.: Continue não se importando com a constante ainda. Ela pode entrar só no final.

Passo 4

Substituindo:

x 2 sin ( x ) d x = x 2 - cos x - ( - cos x ) 2 x d x

Arrumando:

x 2 sin ( x ) d x = - x 2 cos x + 2 x cos ( x ) d x

Agora temos uma nova integral indefinida em mãos.

Passo 5

Vamos resolvê-la pelo mesmo método de antes! =D

x cos ( x ) d x

Fazendo uma nova separação:

w d z = w z - z d w

Pela mesma lógica de antes, queremos abaixar o grau do polinômio:

w = x d w = d x

d z = cos x d x z = sin x

Passo 6

Substituindo:

x cos ( x ) d x = x sin ( x ) - sin x d x

Integrando a última integral:

x cos ( x ) d x = x sin ( x ) + cos x

Substituindo tudo de volta:

x 2 sin ( x ) d x = - x 2 cos x + 2 x sin x + cos x + C

Resposta

- x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C

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