Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2017.1, Questão 3a

Calcule a integral definida a seguir:

0 π 2 x sen 2 x d x

Passo 1

Observando a função que queremos integrar, note que temos um produto de funções de tipos diferentes ( x . sen 2 x ) , sendo um delas fácil de integrar sen 2 x e a outra fácil de derivar ( x ) . Podemos usar integração por partes, certo? Então partiu integração por partes?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembrando que a nossa função fácil de derivar será a nossa função u e a nossa função fácil de integrar será a nossa função v .

Para a nossa questão, identificamos u = x e d v = sen 2 x .

Agora vamos integrar por partes:

u d v = u v - v d u

Passo 3

Vamos calcular

0 π 2 x u sen 2 x d x d v = x   .   - 1 2 cos 2 x 0 π 2 - 0 π 2 - 1 2 cos 2 x v 1 d x d u

0 π 2 x sen 2 x d x = - 1 2 x   .   cos 2 x 0 π 2 + 1 2 0 π 2 cos 2 x d x

0 π 2 x sen 2 x d x = - 1 2 x   .   cos 2 x 0 π 2 + 1 2 1 2   sen 2 x 0 π 2  

0 π 2 x sen 2 x d x = - 1 2 - π 2 - 0 + 1 4 0 - 0 = π 4

Resposta

0 π 2 x sen 2 x d x = π 4

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