Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFF - Cálculo IIA – GMA – 2008.2 – Lista 3 - 12

Calcule a integral indicada, utilizando a técnica de integração por partes.

sen ( ln x ) d x

Passo 1

Ele fala para usar integração por parte, então o que vamos fazer? Usar integração por partes rs.

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . LIATE!

Como nos temos uma função muito louca, vamos chamar essa de u e o resto de d v

u = sen ln x d v = d x    

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = cos ln x . 1 x d x v = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

3. Fazer u d v = u v - v d u

sen ( ln x ) d x = x sen ln x - x . cos ln x . 1 x d x

sen ( ln x ) d x = x sen ln x - cos ln x d x

4. Verificar como calcular a integral v d u : não é nada fácil, vamos tentar aplicar integral por partes de novo

Passo 3

5. Calcular!

cos ln x d x

Como nos temos uma função muito louca, vamos chamar essa de u e o resto de d v

u = cos ln x d v = d x    

Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = - sen ln x . 1 x d x v = x

Passo 4

Fazer u d v = u v - v d u

cos ln x d x = x cos ln x - - x . sen ln x . 1 x d x

cos ln x d x = x cos ln x + sen ln x d x

Passo 5

Opa caímos na integral que temos, olha como está tu

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x + sen ln x d x

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x - sen ln x d x

Parece que chegamos em uma encruzilhada! Mas, não! Com um olhar mais atento, podemos perceber que podemos tratar   sen ln x d x como uma variável a ser calculada. Assim

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x - sen ln x d x

2 sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x 2 + C

Não esquece a constante que você precisa somar no final.

Resposta

x sen ln x - x cos ln x 2 + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas