Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral I, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 38

Calcule 1 3 l n ( x )   d x pelo Método da Integração por Partes

(a) 3 ln 3 - 5

(b) l n ( 3 )

(c) 3 ln 3 - 2

(d) 2 ln 2 - 1

(e) 2

Passo 1

Vamos lembrar da fómula para a integração por partes:

u   d v = u v - v   d u

Mas veja que esse é um caso incomum, porque não estamos integrando um produto de duas funções, e sim apenas uma.

Podemos aplicar o método mesmo assim, é só tratar a segunda função como se fosse uma constante igual a 1 !

Nesse caso, vamos fazer:

u = ln x                 d u = 1 x d x

d v = 1   d x             d v d x = 1             v = x    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos substituir tudo isso na fórmula para achar a integral indefinida.

u   d v = u v - v   d u

ln x   1   d x = x . ln x - x 1 x d x

l n ( x ) = x l n x - x + C

Ótimo, agora é só substituir os limites de integração x = 1 e x = 3 :

3 ln 3 - 3 - ln 1 - 1 = 3 ln 3 - 2

Pronto, esse é o valor da integral.

Resposta

Letra (c).

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