Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2014.2, Questão 1 I a

Calcule as seguintes integrais:

a e x d x

Passo 1

Bom, esse expoente tá estranho. Por mais que ele esteja sozinho por ali, o que dificultaria para fazer uma substituição, eu vou forçar uma substituição:

t = x d t = 1 2 x d x

Repara que ali em cima, fora a exponencial, só tenho d x . Pela minha substituição, d x vale:

d x = 2 x   d t

Po, mas era para ser tudo em t , né? Bom, inicialmente qual era a substituição? t = x , não era? Então vou tirar essa raiz aí e botar t no lugar!

d x = 2 t   d t

Vamos botar tudo na integral agora:

e x d x = e t 2 t d t = 2 e t t d t

Essa aí é a cara de uma integral por partes! Bora tentar isso! Começamos no LIATE, o que faria com que o nosso u fosse a parte algébrica e o d v o resto:

u = t d u = d t

d v = e t d t v = e t

Por definição, u   d v = u . v - v   d u :

2 e t t d t = 2 e t . t - e t   d t = 2 e t . t - e t

= 2 e t t - 1 + C

Passando de volta pra x :

e x d x = 2 e x x - 1 + C

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Resposta

e x d x = 2 e x x - 1 + C

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