Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2015.1 - 5ª Vespertino, Questão 2 b

Calcule as seguintes integrais:

b   e 2 x sen x d x

Passo 1

Essa integral aparece nos nossos exercícios de fixação, é um caso clássico de integral por partes. Eu repeti aqui a mesma explicação, bem detalhada, que eu dei lá nos exercícios desse capítulo:

A tentativa do método da integração por partes é super recomendada aqui, pois trata-se de um produto de uma função exponencial ( e 2 x ) por uma função trigonométrica ( sen x ).

Vamos seguir os passos da integração por partes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

e 2 x sen x   d x

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . LIATE!

u = sen x     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T ) d v = e 2 x d x         ( e x p o n e n c i a l ,   E )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = cos x d x v = 1 2 e 2 x

3. Fazer u d v = u v - v d u

e 2 x sen x d x = 1 2 e 2 x sen x - 1 2 e 2 x cos x d x

4. Verificar como calcular a integral v d u . Vamos ter que usar o método da integração por partes de novo. Repare que temos um produto, de novo, de uma função exponencial por uma função trigonométrica

Passo 3

5. Calcular!

Seja I = 1 2 e 2 x cos x d x .

Calculando pelo método da integração por partes:

u = cos x d u = - sen x   d x d v = 1 2 e 2 x d x v = 1 4 e 2 x

Então:

I = 1 4 e 2 x cos x - - 1 4 e 2 x sen x   d x =

= 1 4 e 2 x cos x + 1 4 e 2 x sen x   d x

Passo 4

Ora, olhe onde chegamos! Temos que calcular a integral do enunciado. Repare:

e 2 x sen x d x = 1 2 e 2 x sen x - 1 4 e 2 x cos x - 1 4 e 2 x sen x   d x

Parece que chegamos em uma encruzilhada! Mas, não! Com um olhar mais atento, podemos perceber que podemos tratar   e 2 x sen x   d x como uma variável a ser calculada. Assim, multiplico tudo por 4 :

4 e 2 x sen x d x = 2 e 2 x sen x - e 2 x cos x - e 2 x sen x d x

5 e 2 x sen x d x = 2 e 2 x sen x - e 2 x cos x

e 2 x sen x d x = 2 5 e 2 x sen x - 1 5 e 2 x cos x + C

Resposta

e 2 x sen x d x = 2 5 e 2 x sen x - 1 5 e 2 x cos x + C

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