Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2018.1, Questão Q01b

a) Calcule as seguintes integrais definidas:

1 2 ln x x 2 d x

Passo 1

Bora lá calcular essa integral. Como temos funções de tipo diferentes sendo multiplicadas:

1 x 2

ln x

Talvez seja interessante a gente usar a integração por partes, beleza? Vamos testar então. Sendo a integração por partes feita:

f   d g = f g -   g   d f

Vamos ter que escolher primeiro f e d g . Se fizermos:

f = ln x d f d x = 1 x d f = d x x

d g = d x x 2 g = - 1 x

Substituimos então na fórmula da integração por partes:

ln x x 2   d x = - ln x x + d x x 2

E olha só! Não é que ajudou? A gente pode até ter ficado com outra integral pra resolver, mas essa é mais fácil porque não tem nenhum ln x nela! Bora calcular então essa integral indefinida:

d x x 2 = x - 2 d x = - x - 1 = - 1 x

E fechamos a integral indefinida:

ln x x 2   d x = - ln x x - 1 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, mas não acabou ainda. O enunciado pede uma integral definida e não indefinida? Po, só aplicar os limites de integração e partir pro abraço! Vamos ter:

1 2 ln x x 2 d x =   - ln x x - 1 x x = 1 x = 2

1 2 ln x x 2 d x = - ln 2 2 - 1 2 - - ln 1 1 - 1 1  

1 2 ln x x 2 d x = - ln 2 2 - 1 2 + 1  

1 2 ln x x 2 d x = 1 2 - ln 2 2  

Resposta

1 2 ln x x 2 d x = 1 2 - ln 2 2  

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