Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2017.1, Questão ME6

Um corpo se move em uma reta com velocidade v t = t cos t . No instante inicial ele estava na posição 0 . Sua localização no instante t = π 2 é igual a:

  1. π 2 + 1
  2. π 2 - 1
  3. π + 1
  4. π - 1

Passo 1

A posição p t nada mais é do que a integral da velocidade no tempo:

p t = v t d t =

t cos t d t

Essa integral, eu não sei quanto a você, mas estou sentindo cheiro de integração por partes. Uai, pois veja aquele termo t . Ele é fácil de derivar e derivando dá d t . Agora veja a outra expressão, conhecemos sua integral muito bem. Sacou?

Pela fórmula de partes...

u   d v = u v - v   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

DEvemos buscar quem é o u e o v . O u é sempre quem derivando fica fácil... Ora, então ele só pode ser o t . O d v então será o outro cara...

u = t           e             d v = cos t d t

Derivando o u para encontrar o d u e integrando o d v para encontrar o v ...

u = t                                                 d u = d t

d v = cos t d t                                 v = sin t

Agora é só substituir na fórmula de integração por partes...

u   d v = u v - v   d u

t cos t d t = t sin t - sin t   d u  

t cos t d t = t sin t + cos t + C

Prontinho ;) A integral indefinida esta calculada.

Passo 3

Porém de você reparar, não tem respostas com essa integral, isso porquê o problema quer que apliquemos as condições iniciais para saber onde está o corpo em um dado momento.

Sabemos que o corpo no instante t = 0 está na posição p 0 = 0 ... Então

p 0 = 0 sin 0 + cos 0 + C  

p 0 = 1 + C             1 + C = 0           C = - 1

Logo, a posição quando t = π 2 ...

p π 2 = π 2 sin π 2 + cos π 2 - 1  

p π 2 = π 2 - 1  

Resposta

b )   π 2 - 1

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