Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 6

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

1)

s e c 2 x   l n   t a n   x     d x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer em uma integral é olhar!

“Hm? Oi? Olhar? Como assim?”

Isso mesmo, olhar! Olhar para a integral e “conversar” com ela. Perguntar qual método é o mais conveniente para resolvê-la, pois toda integral meio que te sugere qual é esse caminho de resolução.

Parece uma coisa boba, mas por incrível que pareça isso ajuda muito. Então vamos lá! ☺

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

s e c 2 x   l n   t a n   x     d x

Note que essa integral tem uma cara de substituição, pois o secante ao quadrado é a derivada da tangente...

t a n   x   = a             d a = x   d x

s e c 2 x   l n   t a n   x     d x = l n   a   d a

Simplificou um pouco, mas ainda não sai direto. Integral de l n   a   , nos pede uma integração por partes onde a fórmula é

u d v = u v - v d u

Para resolver por esse método necessitamos de saber quem é u e d v , e lembre-se que o u é sempre o cara fácil de derivar enquanto o d v , o cara fácil de integrar.

Passo 3

Nesse caso, o l n será o u , pois a gente o quer derivar e verificar se simplifica. Enquanto que o d v será o número 1 que tá multiplicando o l n ...

1 l n   a   d a

u = l n   a  

d v = 1          

Então agora derivemos u para obter o d u ...

d u = 1 a d a

Agora em relação ao d v ... Integremos para obter o v ...

d v = 1 d a    

d v = d a

v = a

Sempre quando terminar essas continhas, monte uma tabelinha, Veja:

u = l n   a                         d u = 1 a   d a

d v = d x                                       v = a                                            

Com essa tabelinha em mãos, vem comigo substituir na fórmula de integração por partes ☺!

Passo 4

Pela fórmula é...

u d v = u v - v d u

Substituindo...

l n   a   d a = a   l n   a   - a a   d a

l n   a   d a = a   l n   a   - a + C

Trocando a novamente...

s e c 2 x   l n   t a n   x     d x = t a n   x   l n   t a n   x     - t a n   x   + C

Resposta

t a n   x   l n   t a n   x     - t a n   x   + C

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