Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2017.1, Questão 2b

Questão 2) Calcular as seguintes integrais:

b)

x sec 2 x d x

Passo 1

Essa integral, eu não sei quanto a você, mas estou sentindo cheiro de integração por partes. Uai, pois veja aquele termo x . Ele é fácil de derivar e derivando dá d x . Agora veja a outra expressão, a derivada da tangente é exatamente igual a ela. Sacou?

u   d v = u v - v   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos buscar quem é o u e o v . O u é sempre quem derivando fica fácil... Ora, então ele só pode ser o x . O d v então será o outro cara...

u = x           e             d v = sec 2 x d x

Derivando o u para encontrar o d u e integrando o d v para encontrar o v ...

u = x                                               d u = d x

d v = sec 2 x d x                               v = tan x

Agora é só substituir na fórmula de integração por partes...

u   d v = u v - v   d u

x sec 2 x d x = x tan x - tan x   d x  

A integral da secante aparece muuuuito constantemente, então é bom saber como uma integral direta como a do seno ou cosseno...

x sec 2 x d x = x tan x - - ln cos x + C

Podemos escrever a resposta como sendo x tan x + ln cos x + C ou x tan x - ln sec x + C

Prontinho ;)

Resposta

x tan x + ln cos x + C   o u   x tan x - ln sec x + C

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