Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2017.2 - 6ª Noturno, Questão 3a

Questão 3)

a) Calcule a integral

x 8 / 3 ln x d x

Passo 1

Essa integral, eu não sei quanto a você, mas estou sentindo cheiro de integração por partes. Uai, pois veja aquele termo x . Ele é fácil de integrar. Agora veja a outra expressão, a derivada da ln é exatamente igual a ela a 1 / x uma expressão perfeita pra cortar. Sacou?

u   d v = u v - v   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos buscar quem é o u e o v . O u é sempre quem derivando fica fácil... Ora, então ele só pode ser o x . O d v então será o outro cara...

u = ln x           e             d v = x 8 / 3 d x

Derivando o u para encontrar o d u e integrando o d v para encontrar o v ...

u = ln x                                               d u = 1 x d x

d v = x 8 / 3 d x                               v = x 8 3 + 1 8 3 + 1 = 3 11 x 11 3

Agora é só substituir na fórmula de integração por partes...

u   d v = u v - v   d u

x 8 / 3 ln x d x = 3 11 x 11 3 ln x - 3 11 x 11 3 1 x   d x  

x 8 / 3 ln x d x = 3 11 x 11 3 ln x - 3 11 x 8 3   d x  

A integral a gente já até calculou, provando que integração por partes aqui é a que mata o problema ;)...

x 8 / 3 ln x d x = 3 11 x 11 3 ln x - 3 11 3 11 x 11 3 + c

x 8 / 3 ln x d x = 3 11 x 11 3 ln x - 9 x 11 3 121 + c

Prontinho, mas veja que apareceu um c ali, neh? É a constante de integração!

Resposta

x 8 / 3 ln x d x = 3 11 x 11 3 ln x - 9 x 11 3 121 + c

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