Calcular ∫ ∫ R ( x - 2 ) ² + ( y - 2 ) ² d x d y onde R é a região delimitada pela circunferência ( x - 2 ) ² + ( y - 2 ) ² = 4 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a uma integral dupla sobre uma região R do plano xy: um círculo de raio 2 centrado no ponto (2,2). Primeiramente, faremos uma transformação

x = x ' + 2

y = y ' + 2

Fazendo essa transformação, podemos escrever a função do integrando como f ( x ' , y ' )   =   x ' ²   +   y ' ² , e a região de integração pode ser escrita como a região delimitada por x ' ² + y ' ² = 4 . O determinante Jacobiano dessa transformação é igual à 1, pois ∂ x ∂ x ' = ∂ y ∂ y ' = 1 e ∂ x ∂ y ' = ∂ y ∂ x ' = 0 . Após a transformação, temos que a nossa integral é da forma

  ∫ ∫ R ( x - 2 ) ² + ( y - 2 ) ² d x d y = ∫ ∫ R ' x ' ² + y ' ² d x ' d y '

Agora, a gente percebe que a nossa integral nesse formato é mais simples de ser resolvida se utilizarmos coordenadas polares. Então, por conveniência vamos fazer uma transformação de coordenadas polares, já que temos uma região circular. Bora lá!

Passo 2

Fazendo a seguinte transformação de coordenadas cartesianas (x’,y’) para polares (r, θ ):

x ' =   r   c o s θ

y ' = r   s e n θ

Obtemos que o determinante Jacobiano dessa transformação de coordenadas polares é igual à r. Então, podemos escrever o elemento de área da integração dA = dx’dy’ como dA = r drd θ . Assim, podemos escrever a região R de integração e seus limites como sendo a região, nesse sistema de coordenadas, delimitada por

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ < 2 π

Então, a nossa integral pode ser escrita como

∫ ∫ R ' x ' ² + y ' ² d x ' d y ' = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( r   c o s θ ) ² + ( r   s e n θ ) ² r d r d θ

Utilizando a identidade trigonométrica s e n ² θ + c o s ² θ = 1 , reescrevemos a integral como

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( r   c o s θ ) ² + ( r   s e n θ ) ² r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r ³ d r d θ = 2 ⁴ 4 - 0 ⁴ 4 × ∫ 0 2 π d θ = 2 π × 16 4 = 8 π

Resposta

∫ ∫ R ( x - 2 ) ² + ( y - 2 ) ² d x d y = 8 π

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