Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 37

Calcule a área e faça um esboço do gráfico da região representada pela integral:

0 1 1 - x 1 - x 2 d y   d x

Passo 1

Aqui não tem segredo. A primeira informação que podemos tirar da nossa integral é que todos os pontos no interior da região tem coordenada x dentro desse intervalo aqui:

0 x 1

Então vamos representar isso no plano. Por enquanto só sabemos que estamos em algum lugar nessa região vermelha:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A segunda informação que essa integral dá é que para cada ponto x nessa região, o y varia entre duas funções:

y = 1 - x

Essa você sabe desenhar, é uma reta decrescente (já que o coeficiente angular é negativo) com inclinação 1 e que cruza o eixo y no ponto ( 0,1 ) . No seu desenho não precisa ser nada perfeito, é só um esboço:

E a outra função é simplesmente uma parábola:

y = - x 2 + 1

O sinal negativo nos diz que a parábola é “aberta” para baixo, e o + 1 nos diz que ela toca o eixo y no ponto ( 0,1 ) . Com isso nós definimos nossa região:

Passo 3

Agora, para calcular a área, podemos simplesmente resolver a integral:

A = 0 1 1 - x 1 - x 2 d y   d x

Primeiro integramos em relação a y :

A = 0 1 1 - x 2 - ( 1 - x )   d x

A = 0 1 1 - x 2 - 1 + x   d x

A = 0 1 - x 2 + x   d x

Agora integrando em relação a x , a integral indefinida é - x 3 3 + x 2 2 , ou seja:

A = - 1 3 3 + 1 2 2 = - 1 3 + 1 2 = - 2 6 + 3 6 = 1 6

Resposta

A área da região é 1 / 6 .

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