Calcule

∬ B x cos ⁡ ( y )   d x d y

Onde B = x , y ∈ R 2 x ≥ 0 ,   x 2 ≤ y ≤ π }

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos pediu para calcularmos essa integral dupla:

∬ B x cos ⁡ ( y )   d x d y

B é essa aqui

B = x , y ∈ R 2 x ≥ 0 ,   x 2 ≤ y ≤ π }

Precisamos fazer um esboço dessa região!

Observando os extremos dos intervalos temos essas três equações:

x = 0

y = π

y = x 2

Assim a região de interesse é a região compreendida por essas três equações:

Então temos que usar esses limites para construir nossa integral:

I = ∬ B x cos ⁡ ( y )   d x d y

E usar a ordem de integração correta!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos dar uma olhada com mais carinho nos nossos limites de integração em x y :

x ≥ 0 x 2 ≤ y ≤ π

Mas como integrar? Vamos sempre começar pela variável que tiver os extremos do intervalo com funções, deixando para o final a variável que tem limites finitos. No nosso caso seria d y d x , assim ao integrarmos em y aplicarmos os limites de integração, vamos ter um resultado apenas em x .

Beleza até aqui? E quais os limites em x ? Vamos resgatar a figura lá do passo 1:

Como vemos o limite mais à esquerda é x = 0 , mas e o mais à direita? É quando as curvas azul e vermelha se encontram, ou seja

π = x 2

x = π

Sendo assim o intervalo de x é

0 ≤ x ≤ π

Aí a ideia é começar integrando em y , aplicar os limites. Depois com uma integral apenas em x , é só integrar e aplicar nos limites (que vão ser números) e deu!

Aí nosso d A fica nessa ordem:

d A = d y d x

Com esses limites de integração:

0 ≤ x ≤ π x 2 ≤ y ≤ π

Agora #partiu montar a integral dupla:

∫ 0 π ∫ x 2 π x cos ⁡ ( y )   d y d x

Obs.: a escolha d y d x ou d x d y influencia nos limites de integração, mas não muda o resultado viu! Escolhi dessa forma por simplicidade, mas você pode fazer o exercício de inverter e comparar os resultados! Eles precisam ser iguaizinhos!

Tudo bem até aqui?

Bora integrar essa coisa?

Passo 3

Agora vamos integrar essa coisa:

I = ∫ 0 π ∫ x 2 π x cos ⁡ ( y )   d y d x

Integrando em y , vamos considerar x constante (e pode até sair da integral mais de dentro), daí temos:

I = ∫ 0 π x ∫ x 2 π cos ⁡ y d y d x = ∫ 0 π   x   s e n y y = x 2 π d x

Aplicando os limites vamos ter um resultado apenas em x :

I = ∫ 0 π   x s e n π - s e n x 2 d x = - ∫ 0 π x   s e n ( x 2 ) d x

Passo 4

Nossa missão agora é terminar de calcular a integral. Note que temos agora uma integral apenas em x!

I = - ∫ 0 π x   s e n ( x 2 ) d x

Usando a técnica de integração por partes usando u = x 2 e d u = 2 x   d x temos o seguinte:

I = - ∫ s e n u d u 2 = 1 2 ∫ s e n ( u ) d u = 1 2 c o s ⁡ ( u )

E retornando para x :

I = - ∫ 0 π x   s e n x 2 d x = 1 2 cos ⁡ x 2 x = 0 π = 1 2 cos ⁡ π 2 - 1 2 cos ⁡ 0 = - 1 2 - 1 - 1 2 ( 1 )

I = - 1 2 - 1 2 = - 1

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

- 1

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