Calcule o fluxo de F ( x , y , z ) = ( 3 x y 2 , x e x , z 3 ) sobre a superfície fronteira do sólido delimitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e os planos x = 1 e x = 3 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

Queremos o fluxo do seguinte campo vetorial

F ( x , y , z ) = ( 3 x y 2 , x e x , z 3 )

o fluxo pode ser traduzido como o cálculo da seguinte integral

∫ ∫ S F ⋅ d S

a superfície é delimitada pelo cilindro

y 2 + z 2 = 4

e os planos x = 1 e x = 3 . Ou seja, esse é um cilindro que tem x como eixo central! Os valores de x vão de 1 a 3 , e podemos usar coordenadas cilíndricas um pouco modificadas para escrever o nosso problema! Saca só!

Passo 2

Normalmente nossos cilindros tem a altura com eixo central z , mas, nosso caso temos que o cilindro está deitado e podemos usar as coordenadas cilíndricas com eixo central em x , ou seja, da seguinte maneira

( x , y , z ) = ( x ,   2   c o s ( θ ) , 2   s e n ( θ ) )

em que 1 < x < 3 e 0 < θ < 2 π , e o elemento de área é agora dado por d A = 2   d x   d θ , que é área de um pequeno retangulozinho na lateral de nosso cilindro. Usando estas coordenadas para escrever nosso campo vetorial, temos que a integral toma a seguinte forma

∫ ∫ S F ⋅ d S = 2 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π ( 12   x   c o s 2 ( θ ) ,   x   e x , 8   s e n 3 ( θ ) ) ⋅ ( r x × r θ )   d x d θ

Vamos calcular os nossos vetores tangentes! Vem comigo!

Passo 3

Temos que os vetores tangentes podem ser obtidos por derivação parcial

r x = ∂ ∂ x [ ( x ,   2   c o s ( θ ) ,   2   s e n ( θ ) ) ] = ( 1,0 , 0 )

e, da mesma forma, temos que

r θ = ∂ ∂ θ [ ( x ,   2   c o s ( θ ) ,   2   s e n ( θ ) ) ] = ( 0 , - 2   s e n ( θ ) , 2   c o s ( θ ) )

Podemos então obter o vetor normal de nossa integral de superfície, como

Expandindo o determinante, temos o seguinte vetor

r x × r θ = ( 0 - 0 ) x ^ + ( 0 - 2   c o s ( θ ) ) y ^ + ( - 2   s e n ( θ )   -   0 ) z ^ = ( 0 ,   - 2   c o s ( θ ) ,   - 2   s e n ( θ ) )

No próximo passo usaremos o vetor obtido para calcular o produto escalar e obter as integrações que precisam ser resolvidas! Bora lá!

Passo 4

Temos o seguinte produto escalar em nosso integrando

( 12   x   c o s 2 ( θ ) ,   x   e x , 8   s e n 3 ( θ ) ) ⋅ ( 0 , - 2   c o s ( θ ) , - 2   s e n ( θ ) )

Que pode ser expandido como

0 - 2   x   e x   c o s ( θ )   - 16   s e n 4 ( θ ) = - 2 ( x   e x   c o s ( θ ) + 8   s e n 4 ( θ ) )

Substituindo este resultado em nossa integral, temos que

- 4 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π [ x   e x   c o s ( θ ) + 8   s e n 4 ( θ ) ]   d x d θ = - 4 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π x   e x c o s ( θ ) d θ d x - 32 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π s e n 4 ( θ ) d θ d x

Aqui fica clara a vantagem de utilizar esta escolha de sistema de coordenadas! Note que as variáveis x e θ são independentes e têm limites de integração constantes, portanto, podemos integrar na ordem que bem entendermos. Convenientemente, vou realizar a integral em θ primeiro! Vem comigo!

Passo 5

O motivo que escolhi realizar a integração em θ primeiro é porquê

∫ 0 2 π c o s ( θ ) d θ = s e n ( θ ) | 0 2 π = 0

Pois temos que s e n ( 2 π ) = s e n ( 0 ) = 0 . Como a integral acima é zero, nós economizamos o trabalho de realizar uma integração por partes em x . Agora, o trabalho se resume em calcular a seguinte integral

∫ 0 2 π s e n 4 ( θ ) d θ

Usando a relação de duplo ângulo para o seno, temos que

∫ 0 2 π s e n 4 ( θ ) d θ = ∫ 0 2 π s e n 2 ( θ ) s e n 2 ( θ ) d θ = 1 4 ∫ 0 2 π [ 1 - c o s ( 2 θ ) ] [ 1 - c o s ( 2 θ ) ]

Podemos expandir o produto, e obter três integrações

1 4 ∫ 0 2 π [ 1 - c o s ( 2 θ ) ] [ 1 - c o s ( 2 θ ) ] = 1 4 ∫ 0 2 π d θ - 1 2 ∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ + 1 4 ∫ 0 2 π c o s 2 ( 2 θ ) d θ

Vamos resolver estas integrais agora! A ideia de como proceder com elas já foi utilizada nos passos anteriores, consegue enxergar? Saca só!

Passo 6

Temos que a primeira integral é bastante direta

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

a segunda integral é bem similar a uma que resolvemos antes, temos que

∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ = 1 2 s e n ( 2 θ ) | 0 2 π = 0

já que novamente s e n ( 4 π ) = s e n ( 0 ) = 0 . Por último, usando a relação de ângulo duplo para o cosseno, temos que

∫ 0 2 π c o s 2 ( 2 θ ) d θ = 1 2 ∫ 0 2 π [ 1 + c o s ( 4 θ ) ] d θ = 1 2 ∫ 0 2 π d θ + 1 2 ∫ 0 2 π c o s ( 4 θ ) d θ

Da mesma forma que fizemos anteriormente, temos que a primeira integral é 2 π e a segunda é 0 , portanto, temos que

∫ 0 2 π c o s 2 ( 2 θ ) d θ = π + 0 = π

Ou seja, a integral que queríamos calcular originalmente é

∫ 0 2 π s e n 4 ( θ ) d θ = 1 4 [ 2 π ] - 1 2 [ 0 ] + 1 4 [ π ] = 3 π 4

Vamos voltar agora para a nossa integral de fluxo!

Passo 7

Usando o resultado que obtivemos nos passos anteriores, temos que

- 4 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π x   e x c o s ( θ ) d θ d x - 32 ∫ 1 3 ∫ 0 2 π s e n 4 ( θ ) d θ d x = - 4 ∫ 1 3 x   e x [ 0 ] d x - 32 ∫ 1 3 [ 3 π 4 ] d x

ou simplesmente

- 32 ∫ 1 3 [ 3 π 4 ] d x = - 24 π ∫ 1 3 d x = - 24 π   [ x ] | 1 3

Ou, avaliando os limites de integração, obtemos que

- 24 π   [ x ] | 1 3 = - 24 π [ 3 - 1 ] = - 48 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F ⋅ d S = - 48 π

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