Calcule as integrais:

a) ∫ ∫ R x d x d y , onde R é o disco de centro na origem e raio 5 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla ∫ ∫ R x d x d y sobre a região R , que é um disco centrado em ( 0 ,   0 ) e de raio r = 5 . Seria mais ou menos isso aqui:

Sempre que a função apresentar algum tipo de simetria rotacional, como é o caso desse círculo, é interessantes usar as coordenadas polares, porque elas vão facilitar nossos cálculos na hora de integrar. Pra isso, a gente conta com as relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

Esse J é o nosso Jacobiano e é muito importante não esquecer dele na hora da integral, sempre que fazemos alguma transformação de coordenadas. Além disso, r é o raio da circunferência e θ é o nosso ângulo. Com base nessas equações conseguimos obter nossos intervalos de integração e calcular a integral pedida.

Vamos lá!

Passo 2

Como a gente viu que nosso raio é 5 , a gente já sabe que ele vai variar no intervalo:

0 ≤ r ≤ 5

A nossa circunferência dá uma volta completa, então o ângulo dela varia de 0 até 2 π , ou seja:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, usando r = cos ⁡ θ , conseguimos escrever nossa integral na forma:

∫ ∫ R x d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r cos ⁡ θ r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 cos ⁡ θ d r d θ

Então, integrando primeiro em relação a r , temos:

∫ 0 2 π r 3 3 0 5 cos ⁡ θ d θ

Aplicando os limites de integração em r :

∫ 0 2 π 5 3 3 - 0 3 3 cos ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π 125 3 cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora integrando em relação a θ , vamos ter:

∫ 0 2 π 125 3 cos ⁡ θ d θ

= 125 3 sin ⁡ θ 0 2 π

Aplicando os intervalos de integração em θ :

125 3 [ sin ⁡ ( 2 π ) - sin ⁡ 0 ]

Como sin ⁡ ( 2 π ) = sin ⁡ ( 0 ) = 0 , temos:

125 3 0 - 0 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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