Calcule a integral

∫ 0 1 ∫ y 1 s i n ( x 3 ) d x d y

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálc 2. Nosso objetivo é calcular a integral

∫ 0 1 ∫ y 1 s i n ( x 3 ) d x d y

Passo 2

Vamos calcular

∫ 0 1 ∫ y 1 s i n ( x 3 ) d x d y

Para fazermos essa integração, vamos trocar nosso domínio de integração.

Temos que

0 ≤ y ≤ 1

Logo, como

y ≤ x ≤ 1

Então

0 ≤ x ≤ 1

e

0 ≤ y ≤ x 2

Dessa forma, nossa nova integral fica:

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 s i n ( x 3 ) d y d x

Passo 3

Integrando, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 s i n ( x 3 ) d y d x ,

= ∫ 0 1 x 2 s i n ( x 3 ) d x

Fazendo a troca de variáveis

x 3 = u

⇒ 3 x 2 d x = d u

Logo, a nossa integral fica

= ∫ 0 1 s i n ( u ) d u / 3

Integrando, obtemos que

= - c o s ( u ) d u / 3 | u = 1 u = 0

= - c o s ( 1 ) / 3 + 1 / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= - c o s ( 1 ) / 3 + 1 / 3

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